参考线平滑设定¶
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二次规划（QP）+样条插值
1. 目标函数¶
1.1 分段寻路路径¶
将寻路路径划分为 n 段，每段用2个多项式表示：
$$
x = f_i(t)
= a_{i0} + a_{i1} * t + a_{i2} * t^2 + a_{i3} * t^3 + a_{i4} * t^4 + a_{i5} * t^5
$$
$$
y = g_i(t) = b_{i0} + b_{i1} * t + b_{i2} * t^2 + b_{i3} * t^3 + b_{i4} * t^4 + b_{i5} * t^5
$$
1.2 定义样条段优化目标函数¶
$$
cost =
\sum_{i=1}^{n}
\Big(
\int\limits_{0}^{t_i} (f_i''')^2(t) dt
+ \int\limits_{0}^{t_i} (g_i''')^2(t) dt
\Big)
$$
1.3 将开销（cost）函数转换为QP公式¶
QP公式：
$$
\frac{1}{2} \cdot x^T \cdot H \cdot x + f^T \cdot x
\\
s.t. LB \leq x \leq UB
\\
A_{eq}x = b_{eq}
\\
Ax \leq b
$$
2 约束条件¶
2.1 平滑节点约束¶
该约束的目的是使样条的节点更加平滑。假设两个段\(seg_k\) 和\(seg_{k+1}\)互相连接，且\(seg_k\)的累计值 s 为\(s_k\)。计算约束的等式为：
$$
f_k(s_k) = f_{k+1} (s_0)
$$
同样地，该公式也适用于下述等式：
$$
f'_k(s_k) = f'_{k+1} (s_0)
\\
f''_k(s_k) = f''_{k+1} (s_0)
\\
f'''_k(s_k) = f'''_{k+1} (s_0)
\\
g_k(s_k) = g_{k+1} (s_0)
\\
g'_k(s_k) = g'_{k+1} (s_0)
\\
g''_k(s_k) = g''_{k+1} (s_0)
\\
g'''_k(s_k) = g'''_{k+1} (s_0)
$$