二次规划ST速度优化

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1 定义

从二次规划样条路径中选取一条路径后,Apollo将路线上的所有障碍物和自动驾驶车辆(ADV)展现在一个时间-路径图上(path-time ST),该路径图表示了路径上的站点变化。速度优化的任务是在ST图上找到一条合理的,无障碍的路径。

Apollo使用多个样条来表示速度参数,在ST图上表示为一系列的ST点。Apollo会对二次规划的结果做再次的平衡以获得最佳的速度参数。QP问题的标准类型定义为:

$$
minimize \frac{1}{2} \cdot x^T \cdot H \cdot x + f^T \cdot x 
\\
s.t. LB \leq x \leq UB
\\
A_{eq}x = b_{eq}
\\
Ax \leq b
$$

2 目标函数

2.1 获取样条段

将路ST速度参数分为 n 段,每段路径用一个多项式来表示。

2.2 定义样条段函数

每个样条段 i 都有沿着参考线的累加距离\(d_i\)。每段的路径默认用5介多项式表示。多项式介数可以通过配置参数进行调整。

$$
s = f_i(t) 
  = a_{0i} + a_{1i} \cdot t + a_{2i} \cdot t^2 + a_{3i} \cdot t^3 + a_{4i} \cdot t^4 + a_{5i} \cdot t^5
$$

2.3 定义样条段优化函数

Apollo首先定义\(cost_1\)以使路径更加平滑:

$$
cost_1 = \sum_{i=1}^{n} \Big( w_1 \cdot \int\limits_{0}^{d_i} (f_i')^2(s) ds + w_2 \cdot \int\limits_{0}^{d_i} (f_i'')^2(s) ds + w_3 \cdot \int\limits_{0}^{d_i} (f_i^{\prime\prime\prime})^2(s) ds \Big)
$$

然后,Apollo定义\(cost_2\)表示最后的S-T路径和S-T巡航路径(有速度限制且m个点)的差值:

$$
cost_2 = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\Big(f_i(t_j)- s_j\Big)^2
$$

同样地,Apollo定义了\(cost_3\)表示第一个S-T路径和随后的S-T路径(o个点)的差值:

$$
cost_3 = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{o}\Big(f_i(t_j)- s_j\Big)^2
$$

最后得出的目标函数为:

$$
cost = cost_1 + cost_2 + cost_3
$$

3 约束条件

3.1 初始点约束

假设第一个点是(\(t0\), \(s0\)),且\(s0\)在路径\(f_i(t)\), \(f'i(t)\), 和\(f_i(t)''\)上(位置、速率、加速度)。Apollo将这些约束转换为QP约束的等式为:

$$
A_{eq}x = b_{eq}
$$

3.2 单调约束

路线必须是单调的,比如车辆只能往前开。

在路径上采样 m 个点,对每一个 \(j\)\(j-1\) 的点对,且(\(j\in[1,...,m]\)),如果两个点都处在同一个样条\(k\)上,则:

$$
\begin{vmatrix}  1 & t_j & t_j^2 & t_j^3 & t_j^4&t_j^5 \\ \end{vmatrix} 
\cdot 
\begin{vmatrix}  a_k \\ b_k \\ c_k \\ d_k \\ e_k \\ f_k  \end{vmatrix} 
> 
\begin{vmatrix}  1 & t_{j-1} & t_{j-1}^2 & t_{j-1}^3 & t_{j-1}^4&t_{j-1}^5 \\ \end{vmatrix}  
\cdot 
\begin{vmatrix}  a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \\ d_{k} \\ e_{k} \\ f_{k}  \end{vmatrix}
$$

如两个点分别处在不同的样条\(k\)\(l\)上,则:

$$
\begin{vmatrix}  1 & t_j & t_j^2 & t_j^3 & t_j^4&t_j^5 \\ \end{vmatrix} 
\cdot 
\begin{vmatrix}  a_k \\ b_k \\ c_k \\ d_k \\ e_k \\ f_k  \end{vmatrix} 
> 
\begin{vmatrix}  1 & t_{j-1} & t_{j-1}^2 & t_{j-1}^3 & t_{j-1}^4&t_{j-1}^5 \\ \end{vmatrix}  
\cdot 
\begin{vmatrix}  a_{l} \\ b_{l} \\ c_{l} \\ d_{l} \\ e_{l} \\ f_{l}  \end{vmatrix}
$$

3.3 平滑节点约束

该约束的目的是使样条的节点更加平滑。假设两个段\(seg_k\)\(seg_{k+1}\)互相连接,且\(seg_k\)的累计值 s\(s_k\)。计算约束的等式为:

$$
f_k(t_k) = f_{k+1} (t_0)
$$

即:

$$
\begin{vmatrix} 
 1 & t_k & t_k^2 & t_k^3 & t_k^4&t_k^5 \\
 \end{vmatrix} 
 \cdot 
 \begin{vmatrix} 
 a_{k0} \\ a_{k1} \\ a_{k2} \\ a_{k3} \\ a_{k4} \\ a_{k5} 
 \end{vmatrix} 
 = 
\begin{vmatrix} 
 1 & t_{0} & t_{0}^2 & t_{0}^3 & t_{0}^4&t_{0}^5 \\
 \end{vmatrix} 
 \cdot 
 \begin{vmatrix} 
 a_{k+1,0} \\ a_{k+1,1} \\ a_{k+1,2} \\ a_{k+1,3} \\ a_{k+1,4} \\ a_{k+1,5} 
 \end{vmatrix}
$$

然后,

$$
\begin{vmatrix} 
 1 & t_k & t_k^2 & t_k^3 & t_k^4&t_k^5 &  -1 & -t_{0} & -t_{0}^2 & -t_{0}^3 & -t_{0}^4&-t_{0}^5\\
 \end{vmatrix} 
 \cdot 
 \begin{vmatrix} 
 a_{k0} \\ a_{k1} \\ a_{k2} \\ a_{k3} \\ a_{k4} \\ a_{k5} \\ a_{k+1,0} \\ a_{k+1,1} \\ a_{k+1,2} \\ a_{k+1,3} \\ a_{k+1,4} \\ a_{k+1,5}   
 \end{vmatrix} 
 = 0
$$

等式中得出的结果为\(t_0\) = 0。

同样地,为下述等式计算约束等式:

$$
f'_k(t_k) = f'_{k+1} (t_0)
\\
f''_k(t_k) = f''_{k+1} (t_0)
\\
f'''_k(t_k) = f'''_{k+1} (t_0)
$$

3.4 点采样边界约束

在路径上均匀的取样 m 个点,检查这些点上的障碍物边界。将这些约束转换为QP约束不等式,使用不等式:

$$
Ax \leq b
$$

首先基于道路宽度和周围的障碍物找到点 \((s_j, l_j)\)的下边界\(l_{lb,j}\),且\(j\in[0, m]\)。计算约束的不等式为:

$$
\begin{vmatrix} 
 1 & t_0 & t_0^2 & t_0^3 & t_0^4&t_0^5 \\
  1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & t_1^4&t_1^5 \\
 ...&...&...&...&...&... \\
 1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & t_m^4&t_m^5 \\
 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \\ d_i \\ e_i \\ f_i \end{vmatrix} 
 \leq 
 \begin{vmatrix}
 l_{lb,0}\\
 l_{lb,1}\\
 ...\\
 l_{lb,m}\\
 \end{vmatrix}
$$

同样地,对上边界\(l_{ub,j}\),计算约束的不等式为:

$$
\begin{vmatrix} 
 1 & t_0 & t_0^2 & t_0^3 & t_0^4&t_0^5 \\
  1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & t_1^4&t_1^5 \\
 ...&...&...&...&...&... \\
 1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & t_m^4&t_m^5 \\
 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \\ d_i \\ e_i \\ f_i \end{vmatrix} 
 \leq
 -1 \cdot
 \begin{vmatrix}
 l_{ub,0}\\
 l_{ub,1}\\
 ...\\
 l_{ub,m}\\
 \end{vmatrix}
$$

3.5 速度边界优化

Apollo同样需要建立速度限制边界。

在st曲线上取样 m 个点,为每个点\(j\)获取速度限制的上边界和下边界,例如\(v{ub,j}\)\(v{lb,j}\),约束定义为:

$$
f'(t_j) \geq v_{lb,j}
$$

即:

$$
\begin{vmatrix}  
0& 1 & t_0 & t_0^2 & t_0^3 & t_0^4 \\  
0 & 1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & t_1^4 \\ 
...&...&...&...&...&... \\ 
0& 1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & t_m^4 \\ 
\end{vmatrix} 
\cdot 
\begin{vmatrix} 
a_i \\ b_i \\ c_i \\ d_i \\ e_i \\ f_i 
\end{vmatrix}  
\geq  
\begin{vmatrix} v_{lb,0}\\ v_{lb,1}\\ ...\\ v_{lb,m}\\ \end{vmatrix}
$$

且,

$$
f'(t_j) \leq v_{ub,j}
$$

即:

$$
\begin{vmatrix} 
 0& 1 & t_0 & t_0^2 & t_0^3 & t_0^4 \\
 0 & 1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & t_1^4 \\
 ...&...&...&...&...&... \\
 0 &1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & t_m^4 \\
 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \\ d_i \\ e_i \\ f_i \end{vmatrix} 
 \leq
 \begin{vmatrix}
 v_{ub,0}\\
 v_{ub,1}\\
 ...\\
 v_{ub,m}\\
 \end{vmatrix}
$$