对抗样本

[Szegedy et al., 2014] 发现对数据添加一些微小的扰动就可以改变模型的分类结果，甚至还可以通过添加扰动让模型对不同的数据产生相同的分类结果。他们将这种人眼看来没有区别，但是模型却分错了样本称为对抗样本。

寻找对抗样本的过程被他们定义为优化问题：

对数据 \(\mathbf{x}\) 和错误标签 \(\mathbf{l}\)，寻找最小的扰动 \(\mathbf{r^*}\) 使得分类器 \(f: \R^m \to \{1, \cdots, k\}\) 将 \(\mathbf{x+r^*}\) 错误分类为 \(\mathbf{l}\)，即

\[\begin{split} \mathbf{r}^* = \arg\min_{\mathbf{r}}||r||_2\\ \text{s.t.} f(\mathbf{x+r}) = \mathbf{l}, \mathbf{x+r}\in [0,1]^m \end{split}\]

生成的扰动 \(r^*\) 即对抗扰动，扰动后的数据 \(x+r^*\) 即是对抗样本。

不过，他们实际求解的是下面这个优化问题：

\[\begin{split} \mathbf{r}^* = \arg\min_{\mathbf{r}} c|r| + L(\theta, \mathbf{x+r}, \mathbf{l}) \\ \text{s.t.} f(\mathbf{x+r}) = \mathbf{l}, \mathbf{x+r}\in [0,1]^m \end{split}\]

其中 \(L\) 是损失函数， \(\theta\) 是模型的参数。

这个形式非常有意思，因为如果把优化的对象换成 \(\theta\)，再把错误标签 \mathbf{l} 换成数据对应的正确标签 \mathbf{y}，那这就是训练模型的标准优化过程。何为对抗？不再优化参数，而是优化输入——更加确切地说，优化输入数据的噪声。