参考线平滑设定

Tip: 为了更好的展示本文档中的等式，我们建议使用者使用带有插件的Chrome浏览器，或者将Latex等式拷贝到在线编辑公式网站进行浏览。

二次规划（QP）+样条插值

1. 目标函数

1.1 分段寻路路径

将寻路路径划分为 n 段，每段用2个多项式表示：

$$
x = f_i(t)
  = a_{i0} + a_{i1} * t + a_{i2} * t^2 + a_{i3} * t^3 + a_{i4} * t^4 + a_{i5} * t^5
$$

$$
y = g_i(t) = b_{i0} + b_{i1} * t + b_{i2} * t^2 + b_{i3} * t^3 + b_{i4} * t^4 + b_{i5} * t^5
$$

1.2 定义样条段优化目标函数

$$
cost = 
\sum_{i=1}^{n} 
\Big(
\int\limits_{0}^{t_i} (f_i''')^2(t) dt 
+ \int\limits_{0}^{t_i} (g_i''')^2(t) dt 
\Big)
$$

1.3 将开销（cost）函数转换为QP公式

QP公式：

$$
\frac{1}{2} \cdot x^T \cdot H \cdot x + f^T \cdot x 
\\
s.t. LB \leq x \leq UB
\\
A_{eq}x = b_{eq}
\\
Ax \leq b
$$

2 约束条件

2.1 平滑节点约束

该约束的目的是使样条的节点更加平滑。假设两个段\(seg_k\) 和\(seg_{k+1}\)互相连接，且\(seg_k\)的累计值 s 为\(s_k\)。计算约束的等式为：

$$
f_k(s_k) = f_{k+1} (s_0)
$$

同样地，该公式也适用于下述等式：

$$
f'_k(s_k) = f'_{k+1} (s_0)
\\
f''_k(s_k) = f''_{k+1} (s_0)
\\
f'''_k(s_k) = f'''_{k+1} (s_0)
\\
g_k(s_k) = g_{k+1} (s_0)
\\
g'_k(s_k) = g'_{k+1} (s_0)
\\
g''_k(s_k) = g''_{k+1} (s_0)
\\
g'''_k(s_k) = g'''_{k+1} (s_0)
$$

2.2 点采样边界约束

在路径上均匀的取样 m 个点并检查这些点的预定义边界。

$$
f_i(t_l) - x_l< boundary
\\
g_i(t_l) - y_l< boundary
$$